曲线积分

首先，对这部分内容的整体把握。

前面提到：对弧长的曲线积分有一应用是计算线密度为曲线形变量的某元件的质量。我们便基于此来说明。

为了计算质量，我们依据 取微元 的思想，将曲线形元件分为长度趋于0的n个弧段。由于弧段足够的短，于是用弧段上某点的线密度代替弧段上其他各处的线密度。再知道各弧段的长度，我们便可以计算各弧段的质量。由此，我们将每个线段的质量相加，便得到了元件的总质量。

于是我们建立一个直角坐标系，用函数来描述元件的形状和线密度。由于每段的质量=线密度*长度。已知了线密度是与坐标（x，y）相关的值，我们还要找到长度与坐标（x，y）的关系，这样才方便计算。

正如上面所提到的，我们需要找到每段长度 与坐标 的关系。依据 以直代曲 的思想，显然有 。我们将元件的弧线方程写成参数方程的形式有 ，其中 又有

所以 的近似值 （即弧微分）有如下形式 。

于是，我们便得到了

其中 和 分别表示小弧段两端的 值。

根据积分中值定理定理，又有

其中 ，

于是，我们便得到

（这里我们直接将小弧段的线密度用 点的线密度替换）。上式显然是函数 在区间 上的定积分。所以

又根据定义（请自行翻阅书籍），我们将***类定积分记作 ，所以有

对以上内容进行比较简单的记忆便是：在计算***类曲线积分的时候，最重要的是搞清楚弧微分应该怎么表示出来。在直角坐标系，参数方程的情况下弧微分为

在极坐标情况下弧微分为

所以曲线积分为

同上，我们可以用计算变力沿曲线做功的例子来帮助理解。但为了说明方便，在此我使用恒力沿曲线做功的例子来说明，即相当于表示力的函数（被积函数）为常数。对于变力的情况，可以用沿用上面微元的方法加以类推。

首先，我们考虑熟悉的平抛运动，求重力在此过程中做的功。很明显这符合对坐标的曲线积分的情况，被积函数为重力，积分路径为曲线。如果用数学的思维和表达式求这个曲线积分，可以写为求

L为平抛轨迹的方程，用向量值函数表示重力

可知 ， 。然后用第二类曲线积分的计算法对 求解。

但是如果我们在此用物理的思维，便是用 。

接着，我们考虑一个诡异的运动：还是平抛，但有一个力的形式如下：

我们需要求这个力做功。依照上面，用数学表达式即为，求

在物理方法中，有两种思路。一为，直接求力和位移的数量积。二为，将力分解为 方向和 方向，分别求两方向的做功然后相加。

我们比较数学方式和物理形式，可以将其对应起来

最后再以一个比较数学的题目来进一步说明如何理解对坐标的曲线积分：计算 ，其中 为抛物线 上从 到 的一段弧。

转换成物理语言便是：求变力 沿曲线做的功。而 对应的便是 方向做的功， 对应的便是 方向做的功。

在此我不在对计算方法予以推导，我想说的是：在进行计算的时候，不按照书上方式将对 ， 的积分和都化为对 或 或参数 的积分，而是像物理里面一样， ， 两个方向分开来看也是可行且合理的。

计算对坐标的曲线积分的核心便是把每部分（或整体）的被积函数中的自变量和积分变量相统一。

如果明白了以上内容，那理解两类曲线积分之间的联系就是水到渠成的事情。

我们知道，第二类曲线积分可以看作变力沿曲线做功。那么类似的，我们可以把***类曲线积分也看作变力沿曲线做功，只是这个变力很是特殊，它与曲线的轨迹 时时相切 。

基于以上理解，我们可以想到，正是由于变力与曲线时时相切，其做功便可以直接相乘（ ）。因此，我们可以将 中的 看作力的大小的函数。 便是小段的位移。

基于以上理解，我们想将第二类曲线积分化为***类曲线积分的形式，我们要如何做呢。这时候我们想到，在物理里面，求力做功不仅可以把力和位移都分解为沿 和 方向，还可以 直接求力和位移的数量积 或是 将力投影到位移方向 。

于是，我们将力投影到位移方向。但是由于一般给出的力的形式 都是沿 轴和 轴分解，所以我们做这两个分方向的力的投影到位移上，可知

下图为以上公式来源的示意图。

上述公式 左边 可以理解为 将力和位移都分解为 和 方向分别求解再相加来求功 ， 右边 可以理解为 将力投影到位移方向再相乘求功 。

于是，我们也可以理解了书上的公式

等式 左边 表示 力与位移的数量积的方式求功 ， 右边 表示 力投影到位移方向求功 。

（未完待续）

曲线积分。

这是一道第二类曲线积分的题目，此题的计算量难点在于dz方向上的函数，又是指数函数，又是反正切函数，单独这么个复合函数暴力求积分都会让人崩溃，更别说求三维曲线积分了。

所以必须想办法把这个纸老虎给干掉。

首先Z方向完全由x y方向导出，所以先代入降维，把z坐标干掉。

那么二维的曲线积分，能想到的就是"格林公式"了，如下图

把三段直线的积分化为一个正方形的积分＋一段的直线积分。

好像没怎么简化计算量嘛，其实不然，如下图

最后发现这两部分积分都刚好把纸老虎约掉了。神奇吧(其实这是出题者的套路)。

注意！如果你不用格林公式，去硬算，只有MN线段部分的纸老虎可以约掉，剩下的AM部分和NB部分必须想办法互相约了。

由于此题计算量较大，所以如果结果有误，请提出。

高数曲线积分如何计算的？

曲线积分一般分为两类，对弧长的曲线积分，就是形如∫L f(x,y)ds ,L为积分曲线。而另一类也是对坐标的曲线积分，形如∫L f(x,y)dx+g(x,y)dy, L为积分曲线。

1.对弧长的线积分计算常用的有以下两种计算方法：

平面上对坐标的线积分（第二类线积分）计算常用有以下四种方法：

（1）直接法

就是将积分曲线关系直接带入被积函数转化为单一变量积分！

（2）利用格林公式

应用格林公式一定要注意以下两点：

a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数

b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。

（3）补线后用格林公式

若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不方便时，此时可补一条曲线，使原曲线变成封闭曲线。

这里给个提示：再没有使用格林公式之前，积分曲线的变量关系可以随便带入积分表达式，一旦使用了格林公式，现在就成了二重积分，就不再满足积分曲线的变量的等量关系了。

曲线积分怎么算？

积分公式：

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （***类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式  ，或者  ；这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

扩展资料：

在各种保守力的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。如： 

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（  ）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

参考资料：百度百科——曲线积分

曲线积分公式

曲线积分公式：w=Gh。在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：***类曲线积分和第二类曲线积分。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。

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