三角形的垂心是什么
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内部。直角三角形的垂心在三角形直角顶点。钝角三角形的垂心在三角形外部。
三角形有“四心”,是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点,分别是三角形的内心,外心,垂心,重心。1.垂心:三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心。2.重心:三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心。3.外心:三角形三边的中垂线交于一点,这一点为三角形外接圆的圆心,称外心。4.内心:三角形三内角平分线交于一点,这一点为三角形内切圆的圆心,称内心。
三角形垂心的性质是什么?
三角形垂心性质:
1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3、垂心关于三边的对称点,均在三角形的外接圆上。
三角形垂心的位置:锐角三角形的垂心在三角形的内部;直角三角形的垂心在三角形的直角顶点;钝角三角形的垂心在三角形的外部。
三角形的五心重要性质
(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。
(2)三角形的外心到三顶点的距离相等。
(3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。
(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等。
(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心。
(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心。
(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
(9)三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍。
三角形的垂心
三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质:
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler
line))
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F
,求证:CF⊥AB
证明:
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC
∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
三角形的垂心指什么?
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形,在数学、建筑学有应用。
性质:
1 、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
以上内容参考:百度百科——垂心
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