最小生成树

所谓最小生成树，就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中，如果存在某个子图G'，其包含了图G中的所有顶点和一部分边，且不形成回路，并且子图G'的各边权值之和最小，则称G'为图G的最小生成树。 由定义我们可得知最小生成树的三个性质：

•最小生成树不能有回路。

•最小生成树可能是一个，也可能是多个。

•最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。 本文将介绍两种最小生成树的算法，分别为克鲁斯卡尔算法(Kruskal Algorithm)和普利姆算法(Prim Algorithm)。

克鲁斯卡尔算法的核心思想是：在带权连通图中，不断地在边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。

克鲁斯卡尔算法的执行步骤：

***步：在带权连通图中，将边的权值排序；

第二步：判断是否需要选择这条边（此时图中的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。

第三步：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

下面我用图示法来演示克鲁斯卡尔算法的工作流程，如下图：

c加加提问，克鲁斯卡尔算法是什么？

克鲁斯卡尔算法，从边的角度求网的最小生成树，时间复杂度为O(eloge)。和普里姆算法恰恰相反，更适合于求边稀疏的网的最小生成树。

对于任意一个连通网的最小生成树来说，在要求总的权值最小的情况下，最直接的想法就是将连通网中的所有边按照权值大小进行升序排序，从小到大依次选择。

由于最小生成树本身是一棵生成树，所以需要时刻满足以下两点：

生成树中任意顶点之间有且仅有一条通路，也就是说，生成树中不能存在回路；

对于具有 n 个顶点的连通网，其生成树中只能有 n-1 条边，这 n-1 条边连通着 n 个顶点。

连接 n 个顶点在不产生回路的情况下，只需要 n-1 条边。

所以克鲁斯卡尔算法的具体思路是：将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断，条件为：如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路，就可以作为最小生成树的一部分；反之，舍去。直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。

判断是否会产生回路的方法为：在初始状态下给每个顶点赋予不同的标记，对于遍历过程的每条边，其都有两个顶点，判断这两个顶点的标记是否一致，如果一致，说明它们本身就处在一棵树中，如果继续连接就会产生回路；如果不一致，说明它们之间还没有任何关系，可以连接。

假设遍历到一条由顶点 A 和 B 构成的边，而顶点 A 和顶点 B 标记不同，此时不仅需要将顶点 A 的标记更新为顶点 B 的标记，还需要更改所有和顶点 A 标记相同的顶点的标记，全部改为顶点 B 的标记。

图 1 连通网

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例如，使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为：

首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记（用颜***别），如下图所示：

（1）

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对所有边按照权值的大小进行排序，按照从小到大的顺序进行判断，首先是（1，3），由于顶点 1 和顶点 3 标记不同，所以可以构成生成树的一部分，遍历所有顶点，将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记，如（2）所示：

（2）

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其次是（4，6）边，两顶点标记不同，所以可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：

（3）

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其次是（2，5）边，两顶点标记不同，可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：

（4）

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然后最小的是（3，6）边，两者标记不同，可以连接，遍历所有顶点，将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记：

（5）

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继续选择权值最小的边，此时会发现，权值为 5 的边有 3 个，其中（1，4）和（3，4）各自两顶点的标记一样，如果连接会产生回路，所以舍去，而（2，3）标记不一样，可以选择，将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记：

（6）

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当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时，说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为（6）所示。

实现代码：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#define MAX_VERtEX_NUM 20#define VertexType inttypedef struct edge{VertexType initial;VertexType end;VertexType weight;}edge[MAX_VERtEX_NUM];//定义辅助数组typedef struct {VertexType value;//顶点数据int sign;//每个顶点所属的集合}assist[MAX_VERtEX_NUM];assist assists;//qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序int cmp(const void *a,const void*b){return  ((struct edge*)a)-weight-((struct edge*)b)-weight;}//初始化连通网void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){printf("输入连通网的边数：n");scanf("%d %d",(*vexnum),(*arcnum));printf("输入连通网的顶点：n");for (int i=0; i(*vexnum); i++) {scanf("%d",(assists[i].value));assists[i].sign=i;}printf("输入各边的起始点和终点及权重：n");for (int i=0 ; i(*arcnum); i++) {scanf("%d,%d,%d",(*edges)[i].initial,(*edges)[i].end,(*edges)[i].weight);}}//在assists数组中找到顶点point对应的位置下标int Locatevex(int vexnum,int point){for (int i=0; ivexnum; i++) {if (assists[i].value==point) {return i;}}return -1;}int main(){int arcnum,vexnum;edge edges;CreateUDN(edges,vexnum,arcnum);//对连通网中的所有边进行升序排序，结果仍保存在edges数组中qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp);//创建一个空的结构体数组，用于存放最小生成树edge minTree;//设置一个用于记录最小生成树中边的数量的常量int num=0;//遍历所有的边for (int i=0; iarcnum; i++) {//找到边的起始顶点和结束顶点在数组assists中的位置int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial);int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end);//如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路if (initial!=-1 end!=-1assists[initial].sign!=assists

克鲁斯卡尔算法的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于克鲁斯卡尔算法和普里姆算法、克鲁斯卡尔算法的信息别忘了在本站进行查找喔。

.sign) {//记录该边，作为最小生成树的组成部分minTree[num]=edges[i];//计数+1num++;//将新加入生成树的顶点标记全不更改为一样的for (int k=0; kvexnum; k++) {if (assists[k].sign==assists

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.sign) {assists[k].sign=assists[initial].sign;}}//如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环if (num==vexnum-1) {break;}}}//输出语句for (int i=0; ivexnum-1; i++) {printf("%d,%dn",minTree[i].initial,minTree[i].end);}return 0;}

测试数据：

输入连通网的边数：

6 10

输入连通网的顶点：

1

2

3

4

5

6

输入各边的起始点和终点及权重：

1,2,6

1,3,1

1,4,5

2,3,5

2,5,3

3,4,5

3,5,6

3,6,4

4,6,2

5,6,6

1,3

4,6

2,5

3,6

2,3

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为多少

时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中E和V分别是图的边集和点集。

基本思想是先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树。

反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。

扩展资料：

克鲁斯卡尔算法证明

假设G=(V,E) 是一个具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是G的最小生成树，U的初值等于V，即包含有G中的全部顶点，TE的初值为空集。该算法的基本思想是：将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取。

若选取的边使生成树T不形成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边，若选取的边使生成树T形成回路，则将其舍弃，如此进行下去直到TE中包含n-1条边为止，此时的T即为最小生成树。

克鲁斯卡尔算法，至多对e条边各扫描一次，每次选择最小代价的边仅需要O(loge)的时间。因此，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。 

参考资料来源：百度百科——克鲁斯卡尔算法

图的相关算法（二）：最小生成树算法

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于上图中的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

具体做法 ：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依照权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使得森林不产生回路，直到森林变成一棵树为止。

以图G4为例（更详细的可以参考《算法导论》p367），对Kruskal进行演示（假设，用数组R保存最小生成树结果）。

第1步 ：将边E,F加入R中。

边E,F的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步 ：将边C,D加入R中。

上一步操作之后，边C,D的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步 ：将边D,E加入R中。

上一步操作之后，边D,E的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步 ：将边B,F加入R中。

上一步操作之后，边C,E的权值最小，但C,E会和已有的边构成回路；因此，跳过边C,E。同理，跳过边C,F。将边B,F加入到最小生成树结果R中。

第5步 ：将边E,G加入R中。

上一步操作之后，边E,G的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步 ：将边A,B加入R中。

上一步操作之后，边F,G的权值最小，但F,G会和已有的边构成回路；因此，跳过边F,G。同理，跳过边B,C。将边A,B加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： E,F C,D D,E B,F E,G A,B 。

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一用排序算法排序即可。

问题二，处理方式：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的***顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

在将E,F C,D D,E加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的***顶点"。 因此，接下来，虽然C,E是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将C,E加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

普里姆（Prim）算法，也是求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想

对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。从所有的 uЄU ，vЄ(V-U)（V-U表示除去U的所有顶点）的边中选取权值最小的边（u，v），将顶点v加入U中，将边（u,v）加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，此时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从***个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态 ：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！

第1步 ：将顶点A加入到U中。

此时，U={A}。

第2步 ：将顶点B加入到U中。

上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。

第3步 ：将顶点F加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。

第4步 ：将顶点E加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。

第5步 ：将顶点D加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。

第6步 ：将顶点C加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。

第7步 ：将顶点G加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。

克鲁斯卡尔算法的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于克鲁斯卡尔算法和普里姆算法、克鲁斯卡尔算法的信息别忘了在本站进行查找喔。