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1、在数学上,基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。
2、两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。
3、例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。
4、 根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。
5、这样,每一个集合都被划入了某一类。
6、任意一个集合a所属的类就称为集合a的基数,记作(或|a|,或carda)。
7、这样,当a 与b同属一个类时,a与b 就有相同的基数,即|a|=|b|。
8、而当 a与b不同属一个类时,它们的基数也不同。
9、 如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。
10、空集的基数也记作0。
11、于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。
12、但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集n有相同的基数,即所有可数集是等基数集。
13、不但如此,还可以证明实数集r与可数集的基数不同。
14、所以集合的基数是个数概念的推广。
15、 基数可以比较大小。
16、假设a,b的基数分别是a,β,即|a|=a,|b|=β,如果a与b的某个子集对等,就称 a 的基数不大于b的基数,记作a≤β,或β≥a。
17、如果 a≤ β,但a≠β( 即a与b不对等 ),就称a的基数小于b的基数,记作aa。
18、在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合a和b,使得a不能与b的任何子集对等,b也不能与a的任何子集对等。
19、 基数可以进行运算 。
20、设|a|=a ,|b|=β,定义 a+β=|{(a,0):a ∈ a} ∪ {(b,1):b ∈ b}|。
21、另,a与β的积规定为|axb|,a×b为a与b的笛卡儿积。
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